5. Kosmologie

Das moderne physikalische Bild des Universums ist noch recht jung und ist nach wie vor einem Wandel unterworfen. Als entscheidende Meilensteine können die allgemeine Relativitätstheorie und die Erkenntnis der Galaxien als Objekte außerhalb der Milchstraße gelten. Die Kosmologie befaßt sich mit der Frage nach der Größe, dem Alter und dem Werdegang des Universums. Zentrale Hypothesen sind das kosmologische Prinzip, ein endliches Weltalter und ein gegenwärtig expandierendes Universum.

5.1 Beobachtungsbefunde

Dunkler Nachthimmel: In einem unbegrenzten, homogen mit Sternen erfüllten Raum trifft jeder Sehstrahl früher oder später auf die Oberfläche eines Sterns. Da die Intensität unabhängig von der Entfernung ist, müßte in einem solchen Raum der Himmel in jeder Richtung so hell wie die Sonne erscheinen. Die Beobachtung eines dunklen Nachthimmels ist ein Hinweis auf die Endlichkeit des Universums (Olbers' Paradox). Die moderne Interpretation ist das endliche Alter - das Licht hatte noch nicht genug Zeit, aus hinreichend großen Entfernungen die Erde zu erreichen.

Verteilung der extragalaktischen Materie: im Großen, d. h. für Skalen jenseits von 100 Mpc ist die Verteilung der Materie im Universum homogen und isotrop. Dies läßt sich anhand von Statistiken nachweisen; die Verteilung der scheinbaren Helligkeiten sollte proportional zu 100.6m sein (siehe Abschn. 3.2.1). Dies trifft für die Verteilung von Galaxien und extragalaktischer Radioquellen zu. Aus der Verteilung von Quasaren ist zu entnehmen, daß diese im früheren Universum entweder viel heller oder viel häufiger waren als heute.

Hubble'sches Gesetz: die Verschiebung der Spektallinien extragalaktischer Quellen zu längeren Wellenlängen wird als Doppler-Effekt gedeutet (Abschn. 4.4). Man definiert die Rotverschiebung mit

,                     (5.01)

wobei l die gemessene und l 0 die Ruhewellenlänge ist. Das Hubble'sche Gesetz ergibt sich nun mit

                     (5.02)

mit der Hubblekonstanten H0 (Einheiten [km s-1 Mpc-1]). Für kleine Radialgeschwindigkeiten ergibt sich das Hubblegesetz in der bekanten Form .

Für eine Klasse von Objekten gleicher absoluter Helligkeit M0 (Standardkerzen) gilt ein linearer Zusammenhang zwischen dem Logarithmus der Rotverschiebung und der scheinbaren Helligkeit,

.                     (5.03)

Dieses Gesetz ist bis z » 1 recht gut erfüllt. Für größere Rotverschiebung gibt es keine geeigneten Standardkerzen. Die inverse Hubblekonstante ist von der Dimension Zeit. Sie gibt eine Abschätzung des Weltalters. Die erste Schätzung von H0 durch Hubble ergab 536 [km s-1 Mpc-1], heutige Werte sind 50 ... 70 [km s-1 Mpc-1] mit einem Weltalter T0 = 15 .. 20 Gy. Zu diesem Zeitpunkt muß das Universum auf ein sehr kleines Volumen konzentriert gewesen sein.

Kosmische Hintergrundstrahlung: ein wesentlicher Stützpfeiler moderner kosmologischer Theorien ist die Entdeckung der Mikrowellen-Hintergrundstrahlung durch Penzias und Wilson im Jahre 1965. Diese schon 1940 von Gamov vorhergesagte, isotrope Strahlung hat das Spektrum eines schwarzen Körpers mit einer Temperatur von 2.7 K mit bemerkenswert hoher Präzision.

Die Ursache der Hintergrundstrahlung ist eine frühe, heiße Phase kurz nach der Entstehung des Universums, in welcher sich das Strahlungsfeld von der Materie bei einer Temperatur von 3000 K (Rekombination von H) entkoppelte. Die Expansion führte zu einer Abkühlung des Feldes zu der heutigen Temperatur.

Moderne, hochpräzise Satellitenmessungen (COBE) der Hintergrundstrahlung fördert Anisotropien auf sehr kleinem Niveau hervor. Abb. 3.6.5.1 zeigt die spektrale Verteilung der Hintergrundstrahlung als Funktion der Richtung in Form einer Karte der Temperatur der entsprechenden Plack-Funktionen. Inhomogenitäten ergeben sich erst bei relativen Fluktuationen von 10-3. Die wesentliche Komponente ist ein Dipol - dessen Ursache ist die Relativbewegung des Beobachters zum Rest des Universums (d. h., die Überlagerung der Eigenbewegung der Sonne, des lokalen Inertialsystems, Eigenbewegung der Milchstraße und der lokalen Gruppe). Bei relativen Fluktuationen von 10-5 zeigen sich Fluktuationen, die dem primordialen Universum zugeschrieben werden und welche zwischen konkurrierenden kosmologischen Theorien unterscheiden helfen.

Alter des Universums: die Alter der Milchstraße, der Kugelsternhaufen und der ältesten Sterne kommen, nach unabhängigen Abschätzungen, dem Hubble-Alter sehr nahe. Dies ist eine starke Stütze für die Interpretation der Rotverschiebung als kosmologischer Expansionseffekt.

Helium-Häufigkeit: die relative Massen-Häufigkeit des Heliums in den ältesten Objekten beträgt 25%. Dieser Wert hängt empfindlich von der Temperatur des frühen Universums ab. Standardmodelle des Urknalls reproduzieren ihn sehr gut. Ähnliche Überlegungen gelten für die Häufigkeiten von Elementarteilchen und die offensichtliche Abwesenheit von Antimaterie.

5.2 Kosmologisches Prinzip

Das Kosmologische Prinzip besagt, daß das Universum, von lokalen Inhomogenitäten abgesehen, von allen Standorten gleich aussieht - die Physik ist überall gleich. Das Prinzip steht nicht im Widerspruch mit der Beobachtung der universellen Expansion. Eine einfache Überlegung zeigt, daß die Expansion gemäß dem Hubble'schen Gesetz (5.02) für alle Standorte gilt. Fordert man überdies die Homogenität, so bleibt ausschließlich eine lineare Expansion oder Kontraktion als möglicher kosmischer Fluß übrig.

Man wendet das Kosmologische Prinzip an, um die Zahl der möglichen kosmologischen Theorien einzuschränken. Ihm liegt das Kopernikanische Prinzip zugrunde, demnach wir uns in keiner ausgezeichneten Position im Universum befinden.

5.3 Homogene und isotrope Universen

5.3.1 Newtonsche Kosmologie

Schon die Anwendung des Newtonschen Gravitationsgesetzes führt zu einem nichtstationären Universum. Zur Illustration betrachten wir einen Bereich in Form einer Kugel mit Radius R(t), die homogen mit Masse der Dichte r (t) erfüllt ist. Die Masse M der Kugel ist dann , die Bewegungsgleichung lautet

.                                 (5.04)

Durch Multiplikation von (5.04) mit und Integration nach t erhält man den Energiesatz

.                     (5.05)

Setzt man die Kugelmasse in (5.05) ein, so erhält man eine Gleichung für die relative Änderung des Skalenparameters R

.             (5.06)

Hieraus ergibt sich die Relativgeschwindigkeit zweier Punkte in der Kugel (zwei Galaxien) mit einem Abstand r zu

.                                 (5.07)

Dies ist das Hubble-Gesetz mit der Hubble-Funktion H(t). Für den heutigen Zeitpunkt t = t0 ergibt sich .

Die Änderung der Hubble-Funktion mit der Zeit wird durch einen Verzögerungsparameter q(t) beschrieben mit

.                                 (5.08)

Der heutige Wert des Verzögerungsparameters ergibt sich zu

                                                 (5.09)

Die Angabe von H0 und q0 reicht zur vollständigen Charakterisierung des Weltmodells aus.

Ein stationäres Modell gibt es nicht, alle Modelle erfordern einen Zeitpunkt unendlich hoher Dichte. Ist die Gesamtenergie Mh größer als 0, so wird das Modell monoton expandieren, für Mh < 0 wird es periodisch oszillieren mit Phasen dere Expansion (Rotverschiebung) und der Kontraktion (Blauverschiebung).

5.3.2 Relativistische Kosmologie

Ein homogenes und isotropes Universum kann im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie mit Hilfe der Robertson-Walker - Metrik beschrieben werden, dessen Linienelement in Kugelkoordinaten gegeben ist mit

. (5.10)

r, q und j sind dimensionslose Lagrange-Koordinaten, welche für ein der Bewegung des Kosmos folgendes Objekt konstant bleibt. R(t) ist ein zeitabhängiger Skalenfaktor und bestimmt die Raumkrümmung. Die Konstante k bestimmt das Vorzeichen der Krümmung:
 

k = 0 flacher, euklidischer Raum
offenes Universum
unendliches Volumen
k = +1 elliptischer oder sphärischer Raum
geschlossenes Universum
endliches Volumen
k = -1 hyperbolischer Raum
offenes Universum 
unendliches Volumen

Alle physikalischen Parameter hängen über dem Skalenfaktor von der Zeit ab. Beträgt zu einem Zeitpunkt t0 der Abstand zwischen zwei Objekten (z. B. Galaxien) r, so ist er zum Zeitpunkt t: .

So skaliert die Wellenlänge mit R, daraus folgt

.                         (5.11)

Durch die Expansion des Universums seit der Entkopplung von Strahlung und Materie im frühen Universum hat sich die Wellenlänge der Hintergrundstrahlung proportional zu R verlängert, die Photonenenergie wie R-1 und die Photonendichte wie R-3 verringert. Die Energiedicht verhält sich wie R-4 und damit verhält sich die Temperatur wie T-1. Damit "befindet" sich die Hintergrundstrahlung bei

.

5.4 Friedmann-Modelle der relativistischen Kosmologie

Einstein zeigte in seinen ersten, im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie aufgestellten Weltmodellen, daß zeitlich stationäre Lösungen nur mit Hilfe einer Modifikation der Feldgleichungen (kosmologische Konstante L ) möglich war. Friedmann gelang es später, aufgrund der Feldgleichungen Lösungen mit zeitlich variablem Skalenfaktor R(t) zu konstruieren. Die Feldgleichungen lassen sich in Form zweier DGLn fassen:

                 (5.12)

k ist der Krümmungsparameter aus (5.10). Hier ist neben der Dichte r auch der Druck P in den Gleichungen enthalten. Für verschwindenden Druck und kosmologischer Konstante werden die Gleichungen (5.04) und (5.09) reproduziert; man erhält also dieselben Modelle wie für den Newtonschen Fall. In der relativistischen Kosmologie können aber a priori keine Geschwindigkeiten > c auftreten.

Eine positive kosmologische Konstante L (Dimension m-2) entspricht einem abstoßenden, der Gravitation entgegen wirkenden Term. Für und ergäbe sich ein stationäres Modell, welches durch die Entdeckung des Hubbleschen Gesetzes hinfällig ist. Formal kann sie aber durch eine Energie- bzw. Massedichte ausgedrücht werden, wobei ist. Im Rahmen der Quantenfeldtheorie kann sie als Energiedichte des Vakuums gedeutet werden und möglicherweise zur Gravitation beitragen. Sie ist aus der Theorie derzeit nicht berechnen. Erst in jünster Zeit mehren sich experimentell Anzeichen für eine nichtverschwindende kosmologische Konstante. Für das kosmologische Standardmodell wird sie gleich Null gesetzt.

Die kritische Dichte r c und der Dichteparameter sind definiert als

.             (5.13)

Für den schon von der Newtonschen Kosmologie her bekannten Bremsparameter q gilt

                 (5.14)

Die heutigen Werte seien für t = t0 gegeben mit H(t0) = H0 und q(t0) = q0. So ergibt sich mit der heutigen mittleren Dichte r 0

.                         (5.15)

Der heutige Wert von q0 bestimmt damit auch die Art des Universums:

Verzögerungsparameter
Krümmung
Dichte
Art
k = -1
r < r c
hyperbolisch
k = 0
r = r c
Flach
k = +1
r > r c
elliptisch

Aus Beobachtungen ist bislang ein sicherer Wert für q0 nicht abzuleiten. Berücksichtigt man leuchtende wie nichtleuchtende ("viriale") Materie, so ergibt sich ca. 1/10 der kritischen Dichte. Damit wäre das Universum hyperbolisch. Selbst die kürzlich berichtete endliche Neutrinomasse würde die Gesamtmasse nicht auf die kritische Masse erhöhen.
 
 

Hubblekonstante H0
50 km s-1 Mpc-1
Bremsparameter q0
0.1
Dichteparameter W 0
0.2
Hubblezeit t 0 = H0-1
19.6 109 Jahre
Friedmannzeit t F
16.7 109 Jahre
Kritische Dichte r c
4.7 10-27 kg m-3
Kritische Dichte nc
3 m-3
Mittlere Dichte r 0
9.4 10-28 kg m-3
Mittlere Dichte n0
0.6 m-3

Parameter für das zur Zeit gültige Standardmodell mit .

Abbildung 5-1: Kosmische Hintergrundstrahlung bei drei verschiedenen Empfindlichkeiten.